Referência
Número Complexo: z = a + bi (i² = -1) |z| = √(a² + b²) módulo arg(z) = atan2(b, a) argumento Operações: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i (a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i De Moivre: zⁿ = |z|ⁿ · (cos(nθ) + i·sin(nθ))
Perguntas Frequentes
O que é um número complexo?
Um número complexo tem a forma z = a + bi, onde a é a parte real, b é a parte imaginária, e i é a unidade imaginária (i² = -1). Todo número real é um complexo com b = 0. Complexos ampliam os reais e permitem resolver equações como x² + 1 = 0.
O que é a forma polar?
A forma polar expressa z como |z| × (cos θ + i·sin θ), onde |z| é o módulo (distância à origem) e θ é o argumento (ângulo com o eixo real positivo). É especialmente útil para multiplicação, divisão e potenciação de complexos.
O que é a fórmula de De Moivre?
A fórmula de De Moivre diz que zⁿ = |z|ⁿ × (cos(nθ) + i·sin(nθ)). Ela facilita enormemente o cálculo de potências de números complexos, transformando o problema em multiplicar o módulo e o ângulo pelo expoente.
O que é o conjugado de um número complexo?
O conjugado de z = a + bi é z̄ = a - bi (troca o sinal da parte imaginária). O produto z × z̄ = a² + b² = |z|² é sempre real e positivo. O conjugado é usado para racionalizar denominadores em divisões de complexos.
Como dividir números complexos?
Para dividir z₁/z₂, multiplique numerador e denominador pelo conjugado de z₂: z₁/z₂ = (z₁ × z̄₂) / |z₂|². Isso elimina o i do denominador. Exemplo: (3+4i)/(1-2i) = (3+4i)(1+2i)/((1-2i)(1+2i)) = (-5+10i)/5 = -1+2i.
Para que servem números complexos?
Complexos são essenciais em engenharia elétrica (impedância, fasores), mecânica quântica, processamento de sinais (Fourier), aerodinâmica, computação gráfica (fractais, rotações), teoria de controle e matemática pura (análise complexa, teoria dos números).