Referência

Regras de Derivação:
  d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹         (potência)
  d/dx [f·g] = f'·g + f·g'    (produto)
  d/dx [f/g] = (f'·g - f·g')/g²  (quociente)
  d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)  (cadeia)

  d/dx [sin(x)] = cos(x)
  d/dx [cos(x)] = -sin(x)
  d/dx [eˣ] = eˣ
  d/dx [ln(x)] = 1/x

Como a calculadora encontra a derivada

A derivada simbólica é construída aplicando regras formais de derivação na árvore sintática da expressão. O motor identifica o tipo de cada nó (constante, potência, produto, composição) e dispara a regra correspondente:

Quebra a expressão em uma árvore: x²·sin(x) vira nó produto com filhos x² e sin(x).
Aplica a regra apropriada: produto, quociente, cadeia, potência ou tabela de funções elementares.
Recursivamente deriva as subárvores.
Simplifica o resultado (combina termos, remove zeros multiplicativos, fatora exponenciais).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Regra da potência:
  f(x) = 3x⁴
  f'(x) = 12x³

Exemplo 2 — Regra do produto:
  f(x) = x²·cos(x)
  f'(x) = 2x·cos(x) + x²·(-sin(x))
        = 2x·cos(x) − x²·sin(x)

Exemplo 3 — Regra da cadeia:
  f(x) = sin(3x² + 1)
  f'(x) = cos(3x² + 1) · 6x

Exemplo 4 — Quociente:
  f(x) = (x² + 1)/(x − 2)
  f'(x) = [(2x)(x−2) − (x²+1)(1)] / (x−2)²
        = (x² − 4x − 1) / (x − 2)²

Onde derivadas aparecem na prática

Física: velocidade é derivada da posição; aceleração é derivada da velocidade.
Economia: custo marginal é a derivada da função custo total — quanto custa produzir uma unidade adicional.
Engenharia: análise de estabilidade, otimização de estruturas, processamento de sinais.
Aprendizado de máquina: retropropagação em redes neurais depende fundamentalmente da regra da cadeia.
Medicina: taxa de variação de glicose, pressão arterial e outras variáveis biomédicas guiam diagnóstico.

Perguntas Frequentes

O que é uma derivada?

A derivada de uma função f(x) representa a taxa de variação instantânea dessa função. Geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto. É fundamental em física (velocidade, aceleração), economia (custo marginal) e engenharia (otimização).

Quais regras de derivação são suportadas?

A calculadora aplica todas as regras fundamentais: regra da potência, regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia, e derivadas de funções elementares como sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, entre outras. Também suporta derivadas de ordem superior (até 5ª ordem).

O que é a regra da cadeia?

A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas. Se f(x) = g(h(x)), então f'(x) = g'(h(x)) · h'(x). Por exemplo, a derivada de sin(x²) = cos(x²) · 2x. É uma das regras mais importantes do cálculo diferencial.

Para que servem derivadas de ordem superior?

A primeira derivada indica velocidade/taxa de variação. A segunda derivada indica aceleração/concavidade da curva. A terceira derivada (jerk) é usada em física e engenharia. Derivadas de ordem superior aparecem em séries de Taylor, equações diferenciais e análise de estabilidade.

Qual a diferença entre derivada e integral?

A derivada calcula a taxa de variação (inclinação) de uma função, enquanto a integral calcula a área sob a curva. São operações inversas: o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que a integral da derivada de f é a própria f (a menos de uma constante).

Como interpretar o resultado da derivada?

A derivada f'(x) dá a inclinação da função em cada ponto. Se f'(x) > 0, a função é crescente. Se f'(x) < 0, é decrescente. Se f'(x) = 0, temos um ponto crítico (possível máximo, mínimo ou ponto de inflexão). A segunda derivada ajuda a classificar esses pontos.

Calculadora de Derivadas

Passo a passo