Calculadora de Sistemas de Equações Lineares

Passo a passo

Sistema:

2x1 + x2 - x3 = 8 - 3x1 - x2 + 2x3 = -11 - 2x1 + x2 + 2x3 = -3

Método: Escalonamento (Gauss)

Matriz aumentada [A|b]:

[ 2 1 -1 8 ] [ -3 -1 2 -11 ] [ -2 1 2 -3 ]

Trocar L1 ↔ L2

L2 ← L2 - -0,666667·L1

L3 ← L3 - 0,666667·L1

Trocar L2 ↔ L3

L3 ← L3 - 0,2·L2

Matriz escalonada:

[ -3 -1 2 -11 ] [ 0 1,666667 0,666667 4,333333 ] [ 0 0 0,2 -0,2 ]

Substituição reversa:

x3 = -1

x2 = 3

x1 = 2

Referência

Métodos de Resolução:

Escalonamento (Gauss):
  1. Montar matriz aumentada [A|b]
  2. Eliminar variáveis abaixo da diagonal
  3. Substituição reversa

Regra de Cramer:
  xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
  onde Aᵢ substitui a coluna i pela coluna b

Classificação:
  det(A) ≠ 0 → Sistema Determinado (1 solução)
  det(A) = 0 → Indeterminado ou Impossível

Perguntas Frequentes

O que é um sistema de equações lineares?

É um conjunto de duas ou mais equações lineares com as mesmas variáveis. A solução é o conjunto de valores que satisfaz todas as equações simultaneamente. Por exemplo: 2x + y = 5 e x - y = 1 tem solução x = 2, y = 1.

Qual a diferença entre Gauss e Cramer?

O método de Gauss (escalonamento) transforma a matriz em forma triangular superior usando operações elementares entre linhas, depois resolve por substituição reversa. A regra de Cramer usa determinantes: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A). Gauss é mais eficiente para sistemas grandes; Cramer é mais didático para sistemas pequenos.

Quando um sistema é impossível?

Um sistema é impossível (sem solução) quando as equações são contraditórias. Geometricamente, em 2D, significa que as retas são paralelas e nunca se cruzam. No escalonamento, aparece uma linha do tipo "0 = constante ≠ 0".

Quando um sistema é indeterminado?

Um sistema é indeterminado (infinitas soluções) quando há equações redundantes — uma pode ser obtida da outra. Em 2D, as retas são coincidentes. O determinante da matriz de coeficientes é zero, mas o sistema é consistente.

O que é a matriz aumentada?

É a matriz que combina os coeficientes do sistema com os termos independentes. Para o sistema 2x + y = 5, x - y = 1, a matriz aumentada é [2 1 | 5; 1 -1 | 1]. É a forma usada no escalonamento de Gauss.

Quantas variáveis a calculadora suporta?

A calculadora suporta sistemas de 2 a 6 variáveis (2×2 até 6×6). Para sistemas maiores, recomendamos ferramentas computacionais especializadas como MATLAB, NumPy ou Wolfram Alpha.